수학적 지식의 특성

논리 수학적 지식 , 물리적 지식, 사회적 지식

1. 논리· 수학적 지식

피아제(Piager)와 까미(Kammi)는 수학적 지식을 물리적 지식, 논리-수학적 지식, 사회적 지식 등 세 가지 유형으로 나누어 보았다.

 

물리적 지식은 외관상으로 나타난 물체 에 대한 지식을 말한다. 예를 들어, 공은 물에 뜬다' 나 '공은 둥글다' 와 같은 물리 적 지식은 관찰을 통해 습득되므로 경험적 추상(empirical abstraction)이라고도 한 다. 물리적 지식은 물체 자체에 지식의 근원이 있으며, 물리적 지식을 학습하기 위 해서는 유아에게 그 물체를 직접 보거나 듣고 만지고 그 변화를 관찰할 수 있는 다 양한 기회를 제공해야 한다.

논리• 수학적 지식은 '공은 장난감의 일종이다' 나 '빨간 공은 까만 공과 (색갈 이) 다르다' 와 같이 사물과 사물의 관계에 대한 지식이다. 공이 장난감이라는 것은 공 자체만 보아서는 알 수 없으며, 유아가 머릿속에서 공과 장난감의 포함관계를 떠 올림으로써 파악된다. 공의 색의 차이도 빨간 공이나 까만 공 각각에 존재하는 것 이 아니라 유아가 두 공을 색에 따라 비교함으로써 구성되는 지식이다. 더욱이 색 이 아니라 크기에 따라 두 공을 비교한다면 '빨간 공과 까만 공은 (크기가) 같다' 고 할 수도 있다. 즉, 보는 관점에 따라 두 공은 다를 수도 있고 같을 수도 있는 것이다.

이와 같이 두 공을 어떤 관계로 연관시키느냐 하는 것은 바로 유아에게 달려 있으므 로 논리 • 수학적 지식의 근원은 물체가 아니라 유아 자신이다. 따라서 논리 • 수학 적 지식은 내성적 추상(reflective abstraction)으로 얻는 지식으로서 관계성의 지식 이라고도 한다.

이와 같이 물리적 지식이 사물에 대한 신체적 행동을 수반하고, 논리 • 수학적 지 식은 정신적 활동을 요구한다는 점에서 두 지식은 차이가 있다. 피아제는 이를 발 견과 발명의 차이로 비유하기도 한다. 즉, 물리적 지식은 발견에 의해서 습득될 수 있지만 논리 • 수학적 지식은 그렇게 될 수 없고 유아 자신의 발명에 의해서만 형성 될 수 있다는 것이다. 예를 들어, 물리적 지식은 공을 물 속에 넣어보면 뜨는지 안 뜨는지를 발견할 수 있는 것처럼 유아가 사물에 행동을 취해봄으로써 그 사물의 속성을 발견할 수 있다. 반면에 논리• 수학적 지식인 두 공이 같은지 다른지에 대한 유아의 판단은 공에 대한 반응으로부터 발견되기보다는 유아 자신의 인지 활동에 의해 발명되어져야 한다. 그러나 이 두 지식은 밀접한 관련이 있다. 예를 들어, 빨간 공과 까만 공(물리적 지식)의 색갈을 각기 관찰하지 못하면, 두 공의 차이(논리 •수 학적 지식)도 구성할 수 없다. 또한 빨간색을 다른 모든 색깔들과 구별하는 분류 능 력(논리 • 수학적 지식)이 없이는 그 공이 빨간색(물리적 지식)이라는 사실을 알아 낼 수 없다. 따라서 논리 • 수학적 지식을 습득하기 위해서는 유아가 실제 물체를 다루어 볼 수 있도록 해야 한다.

 

마지막으로 사회적 지식은 성인(예 교사, 부모)의 직접적인 가르침, 즉 사회적 전 달에 의해서 얻어지는 지식을 말한다. 사회적 지식은 유아 외부에 지식의 근원이 있으며, '어린이날은 5월 5일이다' 와 같이 대개 사람이 정한 것이라는 특징이 있 다. 5월 5일이 다른 날들과 어떻게 틀리는가에 대해서는 아무런 물리적 논리적 이유가 없다. 그렇다면 이 세 가지 지식 중 '수'는 어떤 지식에 속할까? [그림 1-1)은 1, 10,100 등의 수를 가르치기 위해 흔히 사용하는 블록들이다. 유아가 막대를 10' 으로, 정 사각형의 큰 블록을 100' 이라고 부른다고 해서 그 유아가 반드시 10 또는 100이라 는 개념을 구성했다고 보기는 어렵다. 단순히 블록의 이름만을 학습한 것일 수도 있기 때문이다. 10은 막대' 자체가 아니며, 막대와 작은 정육면체 간의 관계가 바 로 수 개념이다. 따라서 10이라는 관계는 유아 자신의 머릿속에서 창조되어야 한 다. 이와 같이 볼 때 '수>는 대표적인 논리 • 수학적 지식이다. 그렇기 때문에 우리 는 1억'과 같은 많은 수의 물체들을 본 적이 없음에도 불구하고 '8천만 원' 이 9백 만 원' 보다는 많고 1억 원' 보다는 적다는 것을 이해할 수 있는 것이다. 또한 [그림 1-21에서 A는 직사각형이다. 그러나 B를 1' 또는 '전체' 라고 한다면, A는 12' 이 라고 부른다. 반' 이라는 개념 역시 A와 B의 관계이다. 이러한 지식은 A나 B 어느 직사각형 안에 존재하지 않으며, 우리의 머릿속에서 구성되어져야 한다. 나아가 c 를 '전체' 라고 부른다면, A는 직사각형이라는 물리적 특성은 변하지 않았으나 더 이상 1/2이 아니며, 1/4 이 되어 버린다(Van De Walle, 2007).
그러나 '일, 이, 삼'이나 'one, Wo, three'와 같은 수의 명칭은 논리 • 수학적 지 식이 아니라 사회적 지식이라 할 수 있다. 수의 명칭도 문화마다 각기 다르게 표현되 며, 유아는 자신이 속한 문화에서 사용하는 수의 명칭을 받아들여야 하기 때문이다.

 

2. 개념적 지식과 절차적 지식

수학 교육자들은 흔히 수학적 지식을 개념적 지식(conceptual knowledge)과 절 차적 지식(procedural knowledge)으로 구분한다. 개념적 지식이란 사물이나 상황 의 관계에 관한 지식을 말한다. 예를 들어, 2X 3이란 2를 3번 합한 것(2+2+2)과 같 음을 이해하는 것이다. 개념적 지식은 현재의 수학적 상황을 자신이 이해하고 있는 과거의 학습 상황과 관련지어 생각해 봄으로써 자발적으로 구성되므로 일종의 비 형식적 지식이라 할 수 있다. 앞의 예의 경우, 양말 세 켤레를 정리한 경험이 곱셈에 대한 개념적 지식을 형성하는 데 도움이 된다. 유아는 자신이 습득한 개념적 지식 을 말로 정확하게 설명하지 못할 수도 있지만 개념적 지식은 유아가 문제를 해결하 는 데 많은 도움을 준다(Hiebert & Lindquist, 1990).
절차적 지식은 수학 문제를 풀기 위해 필요한 공식이나 절차 혹은 수학 기호에 관한 지식을 의미한다. 예를 들어, , +', '<', '>' 등의 부호나 53-19 를 계산 하기 위해서는 10의 자리에서 1을 빌려와서 13-9를 해서 일의 자리에 4를 쓴 후 십 의 자리 5는 4로 바꾼 후 1을 빼서 십의 자리에 3을 쓰는 것 등을 들 수 있다. 이러한 절차적 지식은 대개 학교에서의 직접적인 교육을 통해 얻어지며, 형식적 지식의 성 격을 띤다. 절차적 지식은 수학 교육에서 중요한 역할을 한다. 예컨대, 연산기술은 통상적인 수학 문제를 쉽게 풀게 해주고, 보다 중요한 과제에 생각을 집중할 수 있 도록 만든다. 그러나 절차적 지식을 아무리 능숙하게 사용한다고 해도 개념적 지식 : Part1! 유아 주의 요격의 매음
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이 저절로 발달하는 것은 아니다. 예를 들어, 소수점 10째 자리까지 기계적으로 나 늦썹을 한다고 해서 나눗셈의 의미를 정말로 이해하고 있다고 할 수 없다. 실제 로 절차적 지식에 능숙하면서도 수학적 의미를 부여하지는 은 학생들이 많기 때문이다. 특히 계산은 잘 하는데 응용문제나 문장제 문제를 어려워하는 경우가 개 념적 지식 없이 절차적 지식만 연습하게 한 대표적인 사례라고 할 수 있다. 이와 같 이 개념적 지식이 없는 상태에서 절차적 지식만 가르치는 경우에는 수학 공식을 깊 이 생각하지 않고 사용해서 오답을 내게 하거나 수학을 싫어하게 만들기 때문에 개념적 지식이 없는 상태에서 절차적 지식을 가르쳐서는 안 된다.
절차적 지식의 유용성 여부를 논하는 것보다는 개념적 지식과 절차적 지식이 어 떠한 관련이 있는지를 알아보는 것이 더 중요하다. 개념적 지식과 절차적 지식은 상호작용할 뿐 아니라 수학을 학습하고 이것을 새로운 상황에 적용하는 데 모두 필 요하다. 개념적 지식을 풍부하게 하기 위해서는 절차적 지식이 필요하며, 절차적 지 식도 개념적 지식이 없이는 단순한 암기에만 의존해야 하므로 높은 수준으로 발전 할 수 없다. 따라서 완전한 의미의 수학적 지식은 개념적 지식과 절차적 지식의 의 미 있는 결합에 의해 이루어진다고 할 수 있다. 수학 교육 현장에서 개념적 지식은 종종 무시하고 절차적 지식에 치중하는 것이 현실이지만 특히 연령이 어릴수록 개 념적 지식과 절차적 지식이 균형을 이루도록 지도해야 한다(Van De Walle, 2007).

이러한 관점에서 포스턴과 레이프(Porston & Reif, 1995)는 개념적 지식 형성을 위 해 비형식적인 수학을 이해하고 수용해야 하는 이유를 다음과 같이 기술하고 있다.
유아가 비형식적인 접근 방법-특히 학습문제를 가진 경우-을 사용하도록 하는 것 은 아이들에게 수학을 이해하기 쉬운 것으로 만들어 주는 인지적인 이점뿐 아니라 정서적인 면에도 결정적인 중요성이 있다. 나는 종종 자신의 비형식적인 책략을 숨 기거나 가장하려고 하는 아이들을 인터뷰한 경험이 종종 있다. 예를 들어, 이들은 책상 밑에서 또는 뒤돌아서 손가락으로 세려고 한다. 안타깝게도 학교에서 이들은 자신의 비형식적 책략을 부끄럽게 느끼도록 종용받곤 한다(예 아기들만 손가락으 로 세!. 그 결과 많은 아이들이 학교 수학에 거리감을 느끼게 된다. 아이들에게 수 학을 효율적으로 가르치려면 학습에 있어 인지적 요인과 정서적 요인을 모두 고려 할 필요가 있다. 아이들의 비형식적 책략을 사용하는 것은 수학 교육을 흥미 있고 의미있게 만들 수 있다