수개념 - 수세기

수세기

유아수학교육 수세기

수세기는 일과를 통해 많은 수량을 다루어야 할 때 필수적인 수단으로서 유아 수 학 교육에서도 기초적이고 필수적인 단계로 인식되어 왔다. 수세기는 유아가 획득 하는 최초의 형식적인 계산 체계로서, 유아가 물체의 양을 측정할 때 지각적 판단에 의존하지 않고 전체에 대한 양적 판단을 가능케 하는 역할을 한다(김영실, 김지영,2002), 일과를 통해 경험할 수 있는 수세기 예로는 다음과 같은 것들이 있다.

• 선거 후 표의 수를 세어 승패를 결정한다.
• 안 온 친구가 없는지 확인하기 위해 나를 포함해서 센다.
• 잠이 안 올 때 양 1,000마리부터 거꾸로 센다.

먼저 말로 수세기와 물체 수세기를 비교한 후 고유 수와 한자 수 세기를 설명하 고 큰 수 세기에 대해 알아보기로 한다.

1) 말로 수세기와 물체 수세기

유아의 수세기는 처음에는 수의 이름을 무조건 암기해서 말하는 19로 수제지 (rote counting)로부터 시작해서 점차 수의 명칭과 물체를 정확히 일대일 대응시켜 세는 물체 수세기(rational counting)로 발달한다. 두 유형의 차이를 구체적으로 살펴보면 다음과 같다.

(1) 말로 수세기

2세경부터 발달하기 시작하는 말로 수세기는 기억에 의해 수의 이름을 순서대로 암송하는 것으로 기계적 수세기라고도 한다.

이러한 점에서 말로 주세기는 수학보 다 언어 영역의 학습으로 간주되기도 한다. 예를 들어, 식탁 위에 사탕이 9개 있는 데 손가락으로는 7번째 사탕을 집으면서 입으로는 9까지 다 세였다면, 말로 수세기 를 한 것이다. 이와 같이 말로 수세기를 하는 유아들에게서 흔히 나타나는 실수는 같은 물건을 두 번 세거나 건너뛰고 세는 것이다. 모든 물체를 반드시 한 번씩 세어 야 한다는 것을 이해하지 못했기 때문이다(박재규 역, 1987. 따라서 말로 수세기는 특정 순서로 이루어진 소리에 불과한 무의미한 것이라고 할 수 있지만, 말로 수세기 에 일대일 대응 개념이 더해질 때 물체 수세기 또는 합리적 수세기가 될 수 있다는 점에서 볼 때(Smith, 1997) 수세기 학습의 첫 단계로서 의미를 갖고 있다. 이와 같은 말로 수세기는 다음과 같이 지도할 수 있다.말로 수세기와 관련된 노래(예 열 꼬마 인디언), 손유희 및 율동 등을 활용 한다.

• 손뼉을 치면서 세면 더 효과적이다.
• 말로 차례대로 세기뿐 아니라 거꾸로 세기를 익힌다.
우리나라는 수 세는 방법이 두 가지(고유 수, 한자 수)이므로 유아가 혼돈하 지 않도록 지도한다.
• "일은 랄랄라 하나이고요, 이는 랄랄라 둘이고요" 노래 활용

(2) 물체 수세기

 

물체로 수세기

물체 수세기는 각 숫자의 이름을 물체와 순서대로 짝지을 수 있는 것을 말하는 것으로서 합리적 수세기라고도 한다. 물체 수세기는 수의 구조를 머릿속에 구성할 수 있어야 할 뿐 아니라 눈, 손, 말하기와 기억을 협응해야 하므로 기억에 의해 순서 적으로 수 이름을 암기하는 것보다 훨씬 복잡하다.

따라서 2~3세 유아에게는 물체 수세기가 어려운 과제이며, 눈, 손, 이거의 협응이 성숙하는 4~5세가 되면 합리적 수세기가 기계적 수세기를 따라잡게 된다. 합리적 수세기의 획득은 피아제가 관찰 한 다음 예와 같이 오랜 시간을 요하는 과업이다

 

합리적 수세기 발달 과정

사례
어머니는 장 피엘(5세)에게 식탁 위의 접시 에 냅킨을 올려놓도록 했다. 정 피엘의 가 족은 4명이며, 장 피엘은 보통 때 30 이상 까지 셀 수 있었다. 그런데 장 피엘은 찬장 에 가서 먼저 냅킨 한 장을 가져와 식탁 위의 접시에 놓고, 다시 찬장으로 가서 한 장 을 가지고 와서 두 번째 접시 위에 놓고, 그렇게 하여 네 번을 왔다 갔다 하면서 일 을 마쳤다.
5년 3개월 16일째가 되던 날 장 피엘은 자 발적으로 식구 전체에 대해 생각했다. 냅킨4장을 한꺼번에 갖고 와서 식탁 위 접시에 하나씩 놓았다. 이렇게 6일을 계속했는데, 7일째 되던 날 손님이 와서 평소보다 접시가 하 나 더 있었다.

장 피엘은 여느 때처럼 한꺼번에 냅킨 4장을 가져와서 한 장씩 놓았다. 그런 데 한 접시 위에 냅킨이 없는 것을 보고는 냅킨을 한 장 더 가지고 오는 대신에 이미 놓여 진 4장의 냅킨을 모두 모아서 찬장에 다시 갖다 놓았다. 그리고는 처음부터 다시 시작하여 한 장씩 갖고 오기를 5번 왕복했다.

다음날은 손님이 없었다. 그런데도 장 피엘은 4번 왕복했다. 5일을 계속 그렇게 한 후에야 장 피엘은 한꺼번에 가지고 오는 것을 다시 발견했다. 이 방법이 10일 계속된 후 또 손님 이 왔다. 장 피엘은 여느 때와 같이 4창의 냅킨을 한 장씩 놓고, 이때는 빈 접시를 보고는 모자라는 냅킨을 한 장 다시 갖고 왔다. 다음날 사람 수가 넷이 되었을 때 장 피엘은 냅킨 을 가지러 가기 전에 접시의 수를 세었다. 이후로는 손님이 오더라도 그는 놀라는 일 없이 식탁 위의 접시를 세어 보고 냅킨을 가지러 가게 되었다.

출처 : 박재규 역(1987).

물체 수세기를 지도할 때 다음과 같은 사항을 고려할 수 있다.

- 일상의 구체적인 상황 속에서 물체 수세기 기회를 제공한다.
• 홍미영역의 인원 수 파악

-수세기 상황을 용이하게 만든다.
• 고정된 물체보다는 만지거나 이동시킬 수 있는 물체를 이용한다.

• 문체를 불규칙 또는 원형으로 배열하기보다는 규칙적으로 나란히 배열한다.
• 이미 센 것은 따로 모아두면서 앞으로 세야 할 것과 구분을 쉽게 한다.

- 다음과 같은 물체 수세기에 필요한 원리를 고려하여 지도한다(Prairie,2005; Reys et al., 1995; Smith, 1997).

• 일대일의 원리

일대일의 원리(onetoone rule)는 물체 하나에 한 번씩만 수 단어를 말해야 한다는 원리이다. 이를 어려워하는 영유아에게는 손가락으로 집어가며 세 도록 하는 것이 좋다. 또한 세어야 할 물체를 일직선으로 배열해 놓고, 이미 센 물체는 한쪽 편으로 옮겨 놓아 센 부분과 세어야 할 부분을 쉽게 구분할 수 있게 하는 것도 도움이 된다.

• 안정된 순서의 원리

 

안정된 순서의 원리(stable order rule)는 성인들이 사용하는 수의 명칭 을 안정된 순서로 정확히 말할 수 있 어야 한다는 원리이다. 예를 들어, 영 유아가 7까지 셀 수 있으려면 적어도 7 이상의 숫자의 명칭(예 8)까지 알아 야 한다는 것이다.

영유아는 처음에는 숫자의 순서를 사회적 지식으로 학습하는데, 대개 '하나-둘셋-넷마섯 까지는 안정된 순서로 말하고,

그 뒤의 숫자들은 순서 없이 말하는 경향이 있다(예. 다섯-일곱-여섯 ). 다행히 영유아는 시행착오를 통해 자발적으로 숫자의 순서를 습득한다.

• 기수의 원리

기수의 원리(cardinal principle)는 마지 막 물체에 적용된 수의 명칭이 전체 물 체의 개수를 나타낸다는 것이다.

이 원리는 일대일의 원리나 안정된 순서의 원리 이후에 발달하게 되는 원리로서, 영유아가 스스로 깨우치기는 어려울 수 있다.

그러나 영유아에게 마지막 센 숫자를 좀 더 크게 말하게 하면 이를 이해하는 것이 그다지 어렵지 않을 수 있다.

• 순서 무관의 원리

순서 무관의 원리(order inelevant principle)란 물체의 수를 셀 때에는 어떤 물체부터 세기를 시작해도 된다는 것이다.

또한 어떤 방향으로 수를 세어도 수는 변하지 않는다는 원리이다. 따라서 물체를 더하거나 제거하지 않는다 면, 위로 세든, 아래로

세든 오른쪽으로 세든, 왼쪽으로 세든 결과는 마찬가 지임을 실제로 확인하게 하는 것이 도움이 된다.

• 추상화의 원리

앞의 원리들이 수를 세는 방법에 관 한 것이라면, 추상화의 원리 (abstraction rule)는 수세기의 대상과 관계 있는 원리이다. 즉, 세어야 할 대상이 반드시 서로 동일한 것일 필 요는 없으며(예 "소, 오리, 닭 모두 세 마리가 있어"), 구체적으로 관찰할 수 있는 물체뿐 아니라 경험이나 사건 등 정신적인 실체도 수세기가 가능하 다는 것을 이해하는 것이다(예 "이번 주에 비가 두 번 왔어").

영유아는 스스로 실수를 고치면서 이상과 같은 수세기 원리를 습득하므로 교사 가 성급히 교정하려고 할 필요는 없다.

오히려 성인이 교정을 해주면 영유아는 논 리-수학적 관계를 구성하지 못하고 사회적 지식으로 받아들이게 된다. 수의 명칭이 나 수의 순서 등의 사회적 지식은 집단으로 수를 세거나 다른 사람들이 수를 세는 것을 경청함으로써 학습하는 것이 바람직하다. 즉, 교정보다는 모델링이 더 나은 교 수 방법일 수 있다(Prairie, 2005).

2) 고유 수세기와 한자 수세기

대개 유아는 1에서 10까지는 말로 수세기에 의존하지만 그 다음부터는 수 이름 을 결합하는 규칙을 발견하여 적용한다.

우리나라의 경우 수 이름이 고유 수 이름 과 한자 수 이름의 이중 명명 체계로 구성되어 있다. 한자 수 이름에서는 '십, 이십, 삼십·· 과 같은 수 이름 생성 규칙을 찾아내기 쉬우나 고유 수 이름에서는 십의 자 리에 해당되는 '열, 스물, 서른, 마흔·•' 등 수 이름에 규칙성이 없으므로 기계적으 로 암기해야 하는 어려움이 있다(김영실, 김지영, 2002).
우리나라 만 3-5세 유아의 고유 수세기와 한자 수세기의 발달을 살펴본 연구(김 영실, 김지영, 2002)를 보면 《표 41》과 같이 전반적으로 연령이 많아질수록 수세기가 고유 수 이름으로 셀 때보다 훨씬 많은 수를 세고 있다. 구체적으로 만 3세 유아 는 한자 수 이름으로는 평균 18까지, 고유 수 이름으로는 13까지 말로 셀 수 있으며, 만 5세 유아의 경우에는 한자 수 이름으로는 평균 112까지, 고유 수 이름으로는 이 의 절반도 못 되는 45까지만 말로 셀 수 있었다. 이와 같이 연령이 중가할수록 한자 수 이름으로 세기와 고유 수 이름으로 세기 간의 격차가 커지는 것은 숫자가 커질수 록 고유 수 이름으로 세기가 어려움을 시사한다. 따라서 연령이 증가할수록 고유수 이름 학습을 위해 적절한 도움을 제공해야 할 것이다.

 

3) 큰 수세기

 

6차 유치원 교육과정(교육부, 1998)에서는 수세기의 범위를 수준 1은 5, 수준 2 는 10까지로 제시하고 있었다. 

그러나 대부분의 유아들이 실제로는 이보다 더 많은 물체의 수를 세고 있음이 밝혀짐에 따라 개정 유치원 교육과정(교육인적자원부,
2007)에서는 수준 1의 수세기 범위를 10으로 상향조정하고, 수준 2에는 큰 수세기 경험을 포함하였다. 큰 수에 대한 이해는 유아들이 일상적으로 경험하는 큰 수에 대해 다양한 방법으로 탐색해보는 것을 말한다. 예를 들어, 유아들이 흔히 접하는 100이라는 수는 돈으로는 얼마만큼의 가치를 갖고 있는지, 연필 100개는 얼마나 많 은 건지, 100세 된 할아버지는 얼마나 오래 사신 건지 등을 가능해봄으로써 100에 대한 양적 개념을 경험해보는 것이다.
큰 수에 대한 이해는 작은 수들을 다루면서 경험한 수들 간의 관계를 큰 수에 연결하면서 이루어질 수 있다.

그러나 이러한 전이가 자동적으로 일어나는 것은 아니 므로 적절한 지도와 더불어 큰 수를 다루어 볼 수 있는 기회가 제공되어야 한다. 또 한 큰 수세기를 하기 위해서는 수의 배열이나 구성 체계에 대한 이해가 필요하다.
이러한 개념이 부족한 유아는 '삼십일'을 소리 나는 대로 301' 이라고 쓰는 오류를 보이기도 한다. 큰 수를 이해하기 위해서는 십진법의 기본 단위인 10씩 묶어 세어 보는 것이 매우 중요하다. 예를 들어, 32를 나타내기 위해 10단위 블록 3개와 낱개 블록 2를 사용하는 것이 낱개 블록만 32개를 사용하는 것보다 10진법과 자릿값에 대한 이해를 훨씬 쉽게 할 수 있다. 또한 주관을 이용해서도 자릿값 개념 습득이 가 능하다. 특히 일반적인 주관보다는 [그림 410)과 같이 1의 자릿값에 주판알이 10개 가 되면 10의 자리를 나타내는 두 번째 축에 하나의 주판알을 넣는 주판이 적절하다 (김숙자, 김현정, 2005). 이 외에도 큰 수세기는 다음과 같은 전략을 통해 지도할 수 있다.

• 얼마까지 세나 잊지 않기 위해서는 세기 표(IE, WA)로 기록한다.
• 구체물을 일정한 개수로 묶어서 세어 나간다(skip counting).
둘씩 또는 다섯씩 묶어서 세어봄으로써 곱셈(2단 또는 5단)의 기초를 경험 한다.
• 큰 수를 구체물을 이용하여 다양한 방법으로 배열해 본다.
큰 수를 같은 양으로 나누는 경험은 나누기나 분수 학습의 기초가 된다.